Built with doc-gen4, running Lean4. Bubbles () indicate interactive fragments: hover for details, tap to reveal contents. Use Ctrl+โ†‘Ctrl+โ†“to navigate, Ctrl+๐Ÿ–ฑ๏ธto focus. On Mac, use Cmdinstead of Ctrl. 
import Mathlib

/-!
# Minimum of a list of natural numbers

Our next example is an algorithm to find the minimum of a non-empty list of natural numbers, with a proof of correctness. The proof of correctness consists of two statements about the algorithm: (1) the minimum is in the list, and (2) the minimum is less than or equal to each element in the list.

To avoid name collisions we will use the name `smallest`
-/

/-- The smallest element in a non-empty list of natural numbers  -/
def 
smallest: (l : List โ„•) โ†’ l โ‰  [] โ†’ โ„•
smallest (
l: List โ„•
l : 
List: Type ?u.2 โ†’ Type ?u.2
List 
โ„•: Type
โ„•)(
_: l โ‰  []
_: 
l: List โ„•
l โ‰  
[]: List ?m.9
[]) : 
โ„•: Type
โ„• := 
  match 
l: List โ„•
l with
  | 
head: โ„•
head :: 
tail: List โ„•
tail => 
      if 
c: ?m.130
c:
tail: List โ„•
tail = 
[]: List ?m.57
[] then 
head: โ„•
head
      else 
       
Nat.min: โ„• โ†’ โ„• โ†’ โ„•
Nat.min 
head: โ„•
head (
smallest: (l : List โ„•) โ†’ l โ‰  [] โ†’ โ„•
smallest 
tail: List โ„•
tail 
c: ?m.130
c) 

/-!
An example

```lean
#eval smallest [7, 8, 1,2,3,4,5] (by decide)
```
-/


1

 
smallest: (l : List โ„•) โ†’ l โ‰  [] โ†’ โ„•
smallest [
7: ?m.491
7, 
8: ?m.503
8, 
1: ?m.511
1,
2: ?m.520
2,
3: ?m.528
3,
4: ?m.536
4,
5: ?m.544
5] (
Goals accomplished! ๐Ÿ™
[7, 8, 1, 2, 3, 4, 5] โ‰  []
Goals accomplished! ๐Ÿ™
)

/-- the result of `smallest` applied to a list is a member of that list -/
theorem 
smallest_in_list: โˆ€ (l : List โ„•) (hyp : l โ‰  []), smallest l hyp โˆˆ l
smallest_in_list 
  (
l: List โ„•
l : 
List: Type ?u.1081 โ†’ Type ?u.1081
List 
โ„•: Type
โ„•)(
hyp: l โ‰  []
hyp : 
l: List โ„•
l โ‰  
[]: List ?m.1088
[]) : 
    
smallest: (l : List โ„•) โ†’ l โ‰  [] โ†’ โ„•
smallest 
l: List โ„•
l 
hyp: l โ‰  []
hyp โˆˆ 
l: List โ„•
l := 
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

hyp: l โ‰  []

smallest l hyp โˆˆ l
l: List โ„•

hyp: l โ‰  []

smallest l hyp โˆˆ l
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

hyp: l โ‰  []

smallest l hyp โˆˆ l
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: tail = []

pos
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: tail = []

pos
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

tail โ‰  []
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

pos
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

pos
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

pos.h
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

pos
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

neg
smallest (head :: tail) hyp โˆˆ head :: tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

tail โ‰  []
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

tail โ‰  []
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) = smallest tail (_ : ยฌtail = [])
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

h
smallest tail (_ : ยฌtail = []) โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) = smallest tail (_ : ยฌtail = [])
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

h.a
ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) = smallest tail (_ : ยฌtail = [])
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

lem: Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) = smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

lem: Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) = smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

lem: Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) = smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg.h
smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆˆ tail
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

c: ยฌtail = []

c': ยฌhead โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = [])

neg
head โ‰ค smallest tail (_ : ยฌtail = []) โˆจ Nat.min head (smallest tail (_ : ยฌtail = [])) โˆˆ tail
Goals accomplished! ๐Ÿ™



Nat.min_eq_right {a b : โ„•} (h : b โ‰ค a) : min a b = b
 
Nat.min_eq_right: โˆ€ {a b : โ„•}, b โ‰ค a โ†’ min a b = b
Nat.min_eq_right -- Nat.min_eq_right {a b : โ„•} (h : b โ‰ค a) : min a b = b         

/-- An example of using `left` and `right` tactics. -/
def 
egNat: โ„•
egNat : 
โ„•: Type
โ„• := 
Goals accomplished! ๐Ÿ™
โ„•
โ„•
โ„•
Goals accomplished! ๐Ÿ™



1

 
egNat: โ„•
egNat -- 1

/--
`smallest` is less than or equal to each element in the list
-/
theorem 
smallest_le: โˆ€ (l : List โ„•) (hyp : l โ‰  []) (m : โ„•), m โˆˆ l โ†’ smallest l hyp โ‰ค m
smallest_le (
l: List โ„•
l : 
List: Type ?u.21976 โ†’ Type ?u.21976
List 
โ„•: Type
โ„•) (
hyp: l โ‰  []
hyp : 
l: List โ„•
l โ‰  
[]: List ?m.21983
[]) : 
  โˆ€ 
m: โ„•
m : 
โ„•: Type
โ„•, 
m: โ„•
m โˆˆ 
l: List โ„•
l โ†’ 
smallest: (l : List โ„•) โ†’ l โ‰  [] โ†’ โ„•
smallest 
l: List โ„•
l 
hyp: l โ‰  []
hyp โ‰ค 
m: โ„•
m  := match 
l: List โ„•
l with
  | 
head: โ„•
head :: 
tail: List โ„•
tail => 
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

โˆ€ (m : โ„•), m โˆˆ head :: tail โ†’ smallest (head :: tail) hyp โ‰ค m
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค head โˆง   โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

โˆ€ (m : โ„•), m โˆˆ head :: tail โ†’ smallest (head :: tail) hyp โ‰ค m
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

left
(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

โˆ€ (m : โ„•), m โˆˆ head :: tail โ†’ smallest (head :: tail) hyp โ‰ค m
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

left
(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

hโœ: tail = []

left.inl
head โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

hโœ: ยฌtail = []

left.inr
Nat.min head (smallest tail hโœ) โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

left
(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

hโœ: tail = []

left.inl
head โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

hโœ: ยฌtail = []

left.inr
Nat.min head (smallest tail hโœ) โ‰ค head
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

left
(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค head
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

โˆ€ (m : โ„•), m โˆˆ head :: tail โ†’ smallest (head :: tail) hyp โ‰ค m
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

right
(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

right
(if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

tail โ‰  []
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

contra: tail = []

False
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

tail โ‰  []
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

contra: tail = []

False
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ []

contra: tail = []

False
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ []

contra: tail = []

False
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ []

contra: tail = []

False
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

tail โ‰  []
Goals accomplished! ๐Ÿ™
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

c'': tail โ‰  []

right
head โ‰ค a โˆจ smallest tail (_ : ยฌtail = []) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

a: โ„•

hyp': a โˆˆ tail

c'': tail โ‰  []

right.h
smallest tail (_ : ยฌtail = []) โ‰ค a
l: List โ„•

head: โ„•

tail: List โ„•

hyp: head :: tail โ‰  []

right
โˆ€ (a : โ„•), a โˆˆ tail โ†’ (if c : tail = [] then head else Nat.min head (smallest tail c)) โ‰ค a
Goals accomplished! ๐Ÿ™



List.mem_cons.{u_1} {ฮฑโœ : Type u_1} {a b : ฮฑโœ} {l : List ฮฑโœ} : a โˆˆ b :: l โ†” a = b โˆจ a โˆˆ l
 
List.mem_cons: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {a b : ฮฑ} {l : List ฮฑ}, a โˆˆ b :: l โ†” a = b โˆจ a โˆˆ l
List.mem_cons